Nelineární systémy

Cílem tohoto předmětu je seznámit posluchače se základy moderních přístupů v teorii a aplikacích nelineárního řízení. Základní rozdíl oproti lineárním systémům je ten, že stavový přístup převládá, neboť frekvenční je v nelineární teorii téměř nepoužitelný. Stavové modely jsou pak založeny na obyčejných diferenciálních rovnicích, a proto je součastí úvod do metod řešení a kvalitativního posuzování obyčejných diferenciálních rovnic, především jejich stability. Proto bude probrána především metoda Ljapunovovy funkce, která umožňuje i analýzu stability nelineárního systému. Pro návrh stabilizujícího řízení bude probrána metoda backsteppingu, která využívá tzv. řízené Ljapunovské funkce. Důraz však bude kladen na metody transformace stavových modelů nelineárních systémů do jednoduššího tvaru tak, aby bylo možné využít zavedených postupů pro lineární systémy, a to po určité nezbytné úpravě. Tomuto přístupu proto říkáme přesná kompenzace nelinearit. Od metody přibližné linearizace se liší tím, že nelinearity neignoruje, nýbrž, pokud možno co nejpřesněji, kompenzuje jejich vliv. Budou probrány i některé zajímavé příklady, jako řízení rovinného modelu letadla s kolmým startem a přistáním ("planar VTOL"), anebo jednoduchého rovinného kráčejícího robota. Posluchač kurzu se rovněž seznámí se základy chaotických systémů a některými jejich příklady.

Kód
B3M35NES
Semestr
zimní
Forma studia
prezenční
Rozsah
2p+2c
Kapacita
30
Obsazeno
23
Počet kreditů
6
Zakončení
zápočet a zkouška
Jazyk výuky
čeština
Obsah přednášek

1. Stavový popis nelineárního dynamického systému. Zvláštnosti nelineárních systémů a typické nelineární jevy. Příklady přírodních a technických systémů modelovaných nelineárními systémy.
2. Matematické základy stavových metod pro nelineárních systémy. Definice a metody analýzy stability stavového modelu. Přibližná linearizace a metoda Ljapunovovy funkce.
3. Invariantní množiny a princip LaSalle. Exponenciální stabilita. Analýza vlivu aditivních poruch na asymptoticky, resp. exponenciálně stabilní nelineární systém.
4. Stabilizace nelineárních systémů zpětnou vazbou pomocí řízené Ljapunovské funkce. "Backstepping".
5. Syntéza řízení nelineárních systémů pomocí strukturálních metod: úvod, základní pojmy a definice přesné transformace systémů.
6. Strukturální metody a různé typy přesné linearizace. Nulová dynamika a minimalita ve fázi.
7. Systémy s jedním vstupem a jedním výstupem: relativní stupeň, linearizace vstup-výstup, zjišťování nulové dynamiky a minimality ve fázi.
8. Systémy s jedním vstupem a jedním výstupem: příklady.
9. Systémy s více vstupy a výstupy: vektorový relativní stupeň, linearizace vstup-výstup a decoupling (odstranění vzájemných interakcí mezi vstupy).
10. Systémy s více vstupy a výstupy: nulová dynamika, minimalita ve fázi.
11. Systémy s více vstupy a výstupy: příklady.
12. Systémy s více vstupy a výstupy: dynamická zpětná vazba, příklad jejího využití pro rovinný model letadla s kolmým startem a přistáním. Další příklady praktického využití exaktní linearizace.
13. Chaotické systémy a další složité nelineární jevy.

Náplň cvičení

1. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Příklady nelineárních dynamických systémů, jejích řízení za pomoci přesné linearizace. Porovnání řízení na bázi přibližné a přesné linearizace.
2. Analýza stability nelineárních dynamických systémů. Ljapunovova funkce a princip La Salle.
3. Řízení s využitím Ljapunovovy funkce a backstepping.
4. Lieova derivace a její výpočet.
5. Přesná linearizace dynamických systémů s jedním vstupem a výstupem.
6. Přesná linearizace dynamických systémů s více vstupy a výstupy.